[신호] 1.1 Continuous-time & Discrete time signal //연속 시간& 이산 시간 신호

1.1 Continuous time & Discrete time signals

1.1.1 Definition of Signal & its classification

우선 신호가 무엇인지 수학적으로 명확하게 정의해야한다. 신호의 수학적 정의는 다음과 같다.

-신호: 독립적인 변수들의 함수

신호가 어떤 함수라는 것은 특정 input값에 대해 output값이 하나로 특정되어야 함을 의미한다.

또한 이런 신호는 Continuous time signal(이하 Ct-signal)과 Discrete time signal(이하 Dt-signal)로 구분하는데 각각은 그 신호가 Continuous한 Domain에서 정의되었는지 Discrete한 Domain에서 정의되었는지에 의해 구분된다. 다음 Ct-signal의 예시를 보자.

• Ct-signal의 예

$$
f(t)=sin(t),\quad 1\le t\le 5,t\in R
$$

이런 경우 t는 연속적 구간에서 대해 정의되었으므로 Ct-signal로 본다. 다음은 Dt-signal의 예시다.

• Dt-signal의 예

$$
g(n)=sin(\frac { n }{ 10 } ),\quad n\in Z
$$

이런 경우 n은 떨어진 점들에 대해서 정의되었으므로 Dt-signal로 본다.

*이 때 주의해야할 점: Digital Signal과 Discrete time signal은 서로 다른 개념이다.
Discrete time signal은 아직 Quantization되지 않은 신호이다. 
따라서 어떤 매체에 저장하는 것이 불가능한 신호다. 
이를 적절하게 저장할 수 있는 형태로 quantization된 것이 Digital Signal이다.
ex)sin(1/10)->무리수 : 저장불가.

1.1.2 Energy & Power of Signal

주어진 신호에 대해 그것의 Energy와 Power를 정의할 수 있는데 Ct-signal과 Dt-signal에서 조금 다른 형식으로 정의된다. integeral과 sigma sum간의 관계인 구분구적을 생각해보면 자연스러운 정의라는 것을 알 수 있을 것이다.

-Total Energy over defined interval , Ct-signal

$$
E=\int _{ a }^{ b }{ { |x(t)| }^{ 2 } } dt,\quad a\le t\le b
$$

-Total Energy over defined interval, Dt-signal

$$
E=\sum _{ n=a }^{ b }{ { |x(n)| }^{ 2 } } ,a\le n\le b
$$

그리고 Power가 Energy 변화량의 시간 평균이라는 것을 생각해보면 다음의 정의도 매우 자연스럽다.

-Time average Power over defined interval , Ct-signal

$$
P=\frac { 1 }{ b-a } \int _{ a }^{ b }{ { |x(t)| }^{ 2 } } dt,\quad a\le t\le b
$$

-Time average Power over defined interval , Dt-signal

$$
P=\frac { 1 }{ b-a } \sum _{ n=a }^{b }{ { |x(n)| }^{ 2 } } ,a\le n\le b
$$

그리고 일반적인 신호에서 전체 구간에서의 Energy와 전체 구간에서의 Power를 정의할 수 있는데 극한의 개념을 도입하여 다음과 같이 정의하면 된다.

-Energy and Power over all domain, Ct-signal

$$
{ E }=\lim _{ T\rightarrow \infty }{ \int _{ -T }^{ T }{ { |x(t)| }^{ 2 } } dt } ,\quad { P }=\lim _{ T\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ { 2T } } \int _{ -T }^{ T }{ { |x(t)| }^{ 2 } } dt }
$$

-Energy and Power over all domain, Dt-signal

$$
E_{\infty} =\lim _{ N\rightarrow \infty }{ \sum _{ n=-N }^{ N }{ { |x(n)| }^{ 2 } } } ,\quad P_{\infty} =\lim _{ N\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ 2N+1 } \sum _{ n=-N }^{ N }{ { |x(n)| }^{ 2 } } }
$$

이렇게 전체 구간에서의 에너지와 그 파워를 정의하면 에너지와 파워의 발산/수렴 여부에 따라 signal을 다시 분류해볼 수 있다.

-Classification of signal using E & P

1. E_inf가 수렴, P_inf=0인 경우
2. E_inf가 발산, P_inf가 수렴하는 경우
3. E_inf가 발산, P_inf가 발산하는 경우

각각의 예시는 다음과 같다.
$$
1.\quad y=1,\quad 2\le t\le 4\quad \quad 2.\quad y=2,\quad t\in R\quad \quad 3.\quad y=t,\quad t\in R
$$